# Homology and Cohomology

///////

Related KMR pages:

///////

Other relevant sources of information:

///////

Homology = Group structure of Closed/Exact differential forms.

$\, H_{omology} \, = \, ( \, C_{losed} / E_{xact} \, ) \, D_{ifferential} \, F_{orms} \,$

$\, C_{ohomology} \, = \, A_{rrow}$$R_{eversed} \, H_{omology} \,$

///////

Två generaliseringar av fundamentalsatsen

Inom vektoranalysen finns en generalisering av fundamentalsatsen som kallas Kelvin–Stokes sats. Den säger att ytintegralen av rotationen av ett vektorfält $\, F \,$ över en yta i det Euklidiska rummet är lika med linjeintegralen av vektorfältet $\, F \,$ över ytans rand.

Innom differentialgeometrin finns en generalisering av Kelvin-Stokes sats som kallas (den generaliserade) Stokes sats. Den handlar om integration av differentialformer över mångfalder. Den generaliserade Stokes sats både förenklar och generaliserar ett antal olika satser inom vektoranalysen.

Den generaliserade Stokes sats säger att integralen av en differentialform $\, \omega \,$ över randen till en orienterbar mångfald $\, \Omega \,$ är lika med integralen av differentialformens “exteriöra derivata” $\, d \omega \,$ över hela $\, \Omega$, i.e.,

$\, _{\partial \Omega}^{ \;\, \int} \; \omega \, \equiv \, _{\Omega}^{ \, \int} \; d \omega \,$.

TERMINOLOGI: Vi använder här den egna översättningen “exteriör derivata” av den engelska termen “exterior derivative”, eftersom den språkligt sett naturliga översättningen “yttre derivata” oftast har en annan betydelse på svenska.

///////

Den klassiska fundamentalsatsen formulerad via Stokes sats:

Låt $\, F \,$ vara en s.k. primitiv funktion (= antiderivata = obestämd integral) till funktionen $f$.
Detta betyder per definition att $\, F' \equiv f$.

Med hjälp av Stokes’ sats får vi:

Integralen av en funktion $\, f \,$ över ett intervall $\, [a, b] \,$ är lika med
integralen av funktionen $\, F \,$ över randen till intervallet $\, [a, b]$
.

Enligt ovan är $\, \partial [a, b] \, \equiv \, b - a$, vilket ger:

$\, \int_{a}^{b} f(x)dx \, \equiv \, _{[a, b]}^{ \;\;\, \int} \; F'(x)dx \, \equiv \, _{[a, b]}^{ \;\;\, \int} \; dF \, \equiv \, _{\partial [a, b]}^{ \;\;\;\, \int} \; F \, \equiv \, F(b) - F(a)$.

För en differentierbar funktion $\, f \,$ kan vi formulera fundamentalsatsen så här:

$\, \int_{a}^{b} f'(x)dx \, \equiv \, _{[a, b]}^{ \;\;\, \int} \; df \, \equiv \, _{\partial [a, b]}^{ \;\;\;\, \int} \; f \, \equiv \, f(b) - f(a) \,$.

///////

Homology and cohomology

Let $\, \Omega \,$ denote an orientable region and let $\, \partial$ denote the boundary operator,
that is the map $\, \partial : \Omega \, \mapsto \, \partial \Omega$.

It is an important geometric fact that the boundary of the boundary of an orientable region is equal to zero. This means that

$\, \partial \circ \partial \;\; \Omega \, \stackrel {\mathrm{def}}{=} \, \partial(\partial \Omega) \, \equiv \, 0 \,$

Hence we have $\, \partial \circ \partial \equiv \, 0$.

Every operator which combined with itself is equal to zero gives rise to a chain complex with its own homology and cohomology.

///////

A combinatorial version of Stokes’ theorem is presented in
Naeve, A. & Svensson L., (1999), Discrete Integration and the Fundamental Theorem, The 5:th International Conference on Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, Ixtapa-Zihuatanejo, Mexico, June 27 – July 4, 1999.

///////