This page is a sub-page of the page on Siffrorna I Våra Liv av Stefan Buisman

///////

Related KMR-pages:

• Förändringskalkyl
• Osäkerhetskalkyl
• Grafteori
• Abstraktioner och Tillämpningar
• Math Book Reviews

///////

Kommentarer och Utvikningar:

///////

Sid 27, rad 3: Större delen av den här boken handlar om att det nuförtiden är bra att förstå ett och annat om matematik. Men vad är egentligen matematik och hur fungerar den? Det är i första hand en filosofisk fråga som går tillbaka till de antika filosoferna Platon och Sokrates. Redan de frågade sig vad matematik handlar om och hur vi lär oss något om det. Det är dessutom lite konstigt att matematiken går att använda till så mycket samtidigt som den är så oerhört abstrakt. Det är dessutom lite konstigt att matematiken går att använda till så mycket samtidigt som den är så oerhört abstrakt.

KOMMENTAR: Nej, det är egentligen inte så konstigt, eftersom abstraktionerna oftast har sin grund i strukturer som vi har iakttagit i verkligheten (t.ex. uppförandet hos meningsfulla (= tolkade) storheter som t.ex. KRAFTER och HASTIGHETER). Det visar sig att dessa båda typer av storheter uppvisar samma strukturella uppförande vid sammansättning – via den s.k. ”kraftparallellogrammen” eller ”hastighetsparallellogrammen” – och denna strukturella uppförandelikhet kan vi abstrahera till en ‘meningslös’ storhet som vi kallar vektor. VEKTORER KAN VARA VAD SOM HELST som uppfyller de formella sammansättningslagarna, t.ex. både krafter och hastigheter. En abstrakt storhet får mening genom olika tillämpningar, där varje specifik tillämpning innehåller sin egen tolkning (= konkretion) av abstraktionen.

Vektorer definieras alltså INTE genom VAD DE ÄR utan genom HUR DE UPPFÖR SIG. Denna förskjutning är synnerligen viktig för att förstå matematikens idéhistoria, där abstraktionsprocessen har spelat en avgörande roll för att generalisera de matematiska begreppen genom att fokusera på deras form i stället för deras mening.

Matematiken har kämpat en lång och hård historisk kamp för att befria sig från mening och uttrycka sitt innehåll på en “abstrakt form” – dvs med hjälp av en formell (eller symbolisk) struktur. Som den store matematikern (och teoretiska fysikern) Hermann Weyl uttryckte saken vid början av det förra århundradet:

“We now come to a decisive step of mathematical abstraction: we forget about what the symbols stand for… [The mathematician] need not be idle; there are many operations which he may carry out with these symbols, without ever having to look at the things they stand for“.

Matematisk formalism – som är besläktad med filosofisk nominalism – är studiet av de formella strukturerna bakom ”meningsfulla begrepp” som t.ex. ”kraft” och ”hastighet”. Den abstrakta (= formella) motsvarigheten, begreppet ”vektor”, har alltså ingen ‘mening‘ i betydelsen något svar på frågan ”vad är en vektor?” En vektor har endast en ‘form‘ (som svarar på frågan ”hur uppför sig en vektor?”

Vad är matematik?
(Ambjörn Naeve på YouTube):

///////

Sid 35, rad 6: Historierna om matematik är speciella eftersom vi ofta tror att de handlar om världen runt omkring oss. Matematiker tar dem bokstavligt, samtidigt som ingen tar böckerna om Sherlock Holmes rent bokstsavligt. Det gör det svårt att förklara hur matematik fungerar. Hur ska människor som bokstavligen säger osanna saker ändå kunna bygga upp en vetenskap som är värdefull och rigorös? Den frågan har nominalisterna inget bra svar på.

KOMMENTAR: Matematiken innehåller inga osanningar. Matematiken är inte heller någon vetenskap. Bertrand Russel har beskrivit matematiken som “den disciplin där vi aldrig vet vad vi talar om och inte heller huruvida det vi säger är sant eller ej.” Matematiken uttalar sig nämligen ENBART om HYPOTETISKA sanningsrelationer, och den talar endast i ett enda tempus, nämligen konjunktiv.

När vi skriver \, A \implies B \, (som uttalas ”påståendet \, A \, medför påståendet \, B \, ”)
så menar vi följande:
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; OM påståendet \, A \, är (= vore) sant
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; SÅ är (= bleve) även påståendet \, B \, sant.

Detta säger ingenting om sanningsvärdet hos vare sig påståendet \, A \, eller påståendet \, B \, utan uttalar sig enbart om RELATIONEN mellan sanningsvärdena för dessa båda påståenden.

///////

Sid 45, rad 9 nerifrån: … för matematiken har när allt kommer omkring bara funnits i fem tusen år.

KOMMENTAR: Tally sticks

///////

Sid 48, rad 12: Loboda däremot talar om längd genom att jämföra det med något annat som är bekant.

KOMMENTAR: Det gör vi med. Det är bara det att enheterna (dvs jämförelsevärdena är mycket mer exakta, som t.ex. i den nuvarande definitionen av 1 meter, där vi jämför med ett visst antal våglängder av en viss typ av atomär strålning som varierar väldigt lite med fysikaliska variabler som t.ex. temperatur och tryck.

///////

Sid 107, rad 4: Först när matematiker accepterade att det finns mer än heltal och bråk kunde de göra beräkningar med volymer och förändringar. De som gjorde det för första gången var Isaac Newton och Gottfried Wilhelm von Leibniz.

KOMMENTAR: Nej, den förste som dokumenterat integrerade fram ytan i en figur som innehåller en böjd kurva var Arkimedes, som i The Method of Mechanical Theorems, också känd under namnet ”The Method,” beräknade parabelsegmentets area genom att använda Eudoxos uttömningsmetod (Method of Exhaustion). Se t.ex.

• Archimedes’ quadrature of the parabola

///////

Sid 115, rad 1: Differentialer (eller derivata på fackspråk) handlar om hur snabbt något förändras. Integraler handlar om hur mycket något har förändrats: Integraler räknar alltså ihop förändringarna så mycket som möjligt.

KOMMENTAR: Det är mycket som är förtjänstfullt med denna beskrivning, men den innehåller ett mycket vanligt misstag. Den blandar ihop begreppen “differential” och “derivata“, vilket avsevärt försvårar förståelsen av samverkan mellan dessa begrepp.

Se t.ex. Differentiation and Affine Approximation

///////

Sid 118, rad 9: Genom att gå upp och ner längs en smal stig som följer rektanglarnas form kan du räkna ut arean …

KOMMENTAR: Rektanglarna har (oftast) konstant bredd (som minskar mot noll när indelningsfinheten ökar), medan de allt smalare rektanglarnas höjd förändras med ändringen av funktionsvärdet. Det MINSTA funktionsvärdet i ett intervall ger en rektangel vars area är mindre än (eller lika med) motsvarande area under funktionsgrafen i detta intervall. Summan av dessa ”under-rektanglar” över hela integrationsområdet kallas en UNDERSUMMA till integralen.

På motsvarande sätt ger det STÖRSTA funktionsvärdet i intervallet en rektangel vars area är större än (eller lika med) motsvarande area under funktionsgrafen i detta intervall. Summan av dessa ”över-rektanglar” över hela integrationsområdet kallas en ÖVERSUMMA till Riemannintegralen.

Definition: Integralen existerar om och endast om undersumman och översumman har SAMMA gränsvärde när ”finheten” i intervallindelningen närmar sig noll. Integralens värde definieras i sådana fall som värdet av detta gemensamma gränsvärde.

Se t.ex. The definite (Riemann) integral of a function.

///////