Hur vi använder matematik utan att räkna
av Stefan Buijsman, Natur & Kultur, 2019
///////
This page is a sub-page of our page on Math Book Reviews.
///////
The sub-pages of this page are:
• Förändringskalkyl
• Osäkerhetskalkyl
• Från grafteori till kategoriteori
• Abstraktioner och Tillämpningar
• Kommentarer och Utvikningar
///////
Stefan Buijsman
Siffrorna i våra liv – Hur vi använder matematik utan att räkna
Kapitelrubriker och Rymddräktskopplingar:
Kapitel 1: Matematik runt omkring oss
Rymddräktskopplingar:
• Mathematical explainatorium
• Vad är matematik?
• Talen och deras siffror i olika baser
Kapitel 2: Skilda världar
Rymddräktskopplingar:
Kapitel 3: Ett liv utan siffror
Rymddräktskopplingar:
Kapitel 4: Matematik för länge, länge sedan
Rymddräktskopplingar:
Kapitel 5: Det förändras hela tiden
Rymddräktskopplingar:
• Förändringsteori
Kapitel 6: Grepp om osäkerheten
Rymddräktskopplingar:
• Osäkerhetsteori
Kapitel 7: Att vandra i tankar
Rymddräktskopplingar:
• From Graph Theory to Category Theory
• A Networked World
Kapitel 8: Nyttan med matematik
Rymddräktskopplingar:
• Abstraktioner och Tillämpningar
///////
Översiktlig beskrivning av bokens syfte och innehåll:
I inledningen formulerar Buijsman sitt syfte med boken:
1) “att visa hur nyttig och användbar matematiken är,” och dessutom
2) “att göra detta (nästan) helt utan formler.”
Buijsman börjar med en historisk översikt över räknekonstens utveckling och ger ett intressant exempel på en nutida kultur som helt saknar ett talbegrepp samt diskuterar varför de klarar sig rätt bra ändå. Därefter kommer författaren in på bokens huvudteman: “förändringsteori” (kap 5), “osäkerhetsteori” (kap 6) och grafteori (kap 7). Det är dessa huvudteman som jag kommer att koncentrera mig på i denna recension.
Jag kommer även att ta upp den tematiska tråd som löper genom hela boken, nämligen den filosofiska frågan om samspelet mellan det konkreta och det abstrakta. Som Buijsman betonar är denna fråga är nära förknippad med frågan om huruvida matematiken “upptäcks” (som platonisterna hävdar) eller “uppfinns” som t.ex. formalisterna eller nominalisterna föredrar att tro.
Jag har stor respekt för Buijsmans formelfria approach, och jag tror att den kan bidra till att sätta matematiken på den filosofiska kartan och förstärka det offentliga samtalet kring matematik. Men ibland leder frånvaron av formler till svårigheter att precisera begreppen, vilket begränsar förståelsen – framförallt av differential och integralkalkylen. Problemet förvärras av den engelskspråkliga inkonguens som blandar ihop begreppen differentiera och derivera och som finns närmare beskriven på min sida om Förändringsteori som anknyter till Buijsmans kapitel 5.
Som ett sätt att förankra och fördjupa diskursen har jag därför försökt att illustrera hur ett formelbaserat (och webbaserat) informationslager ovanpå de formelfria beskrivningar som boken presenterar skulle kunna se ut. Den metafor som närmast sammanfattar min recension av boken är att jag har försökt att innesluta den i en abstrakt rymddräkt. Avsikten med detta är att göra det möjligt att utvidga de många spännande formelfria möten med matematik som finns beskrivna i boken med hjälp av några av de formelbaserade och abstrakta beskrivningar som så att säga “svävar ovanför” de verbala.
I detta syfte har jag ofta använt mig av länkar till Wikipedia och YouTube och även till det Matematiska Förklaratorium som vi (dvs. KMR-gruppen på KTH) har byggt upp under mer än två decennier.
Stefan Buijsmans bok kan ses som ett bidrag till att försöka blåsa liv i diskursen omkring de fascinerande (och komplicerade) relationerna mellan matematiken och verkligheten.
I de tre tematiska kapitlen (4, 5, och 6) går han i närkamp med de underliggande matematiska begreppen via språket och helt utan formler – så när som på en språklig variant av Bayes formel i kap 6.
Resultatet är ofta imponerande – som till exempel beskrivningen av den empiriska delen av osäkerhetsteorin i kapitel 6 och beskrivningen av abstraktionens kraft i kapitel 7 genom berättelsen om grafteorins utveckling från Eulers berömda problem om de sju broarna i Königsberg till ett abstakt nätverk av noder och bågar – ofta förknippade med olika mått på kostnader, tidsåtgångar. etc. Jämförelsen mellan Google Maps avståndsberäkningar med hjälp av Dijkstras algorim respektive A*-algorimen är belysande och instruktiv och leder fram till en samhällsviktig diskussion om algoritmernas ökande inflytande över våra liv och de medföljande för- och nackdelarna med den snabba digitaliseringen och dess omvandling av samhällets servicefunktioner till olika flöden av ettor och nollor.
En svaghet med boken är behandlingen av förändringsteorin, som inte tar upp det viktigaste resultatet inom differential- och integralkalkylen, den s.k. fundamentalsatsen. Detta får negativa konsekvenser för begripligheten i beskrivningen av fundamentalsatsens tillämpning inom sannolikhetsteorin, något som ledde Abraham De Moivre fram till begreppen fördelningsfunktion och frekvensfunktion (eller täthetsfunktion) för slumpvariabler.
///////
I boken “Are Numbers Real? – The Uncanny Relationships between Mathematics and the Physical World” intar vetenskapsjournalisten Brian Clegg en “mellanliggande ståndpunkt” mellan platonister och formalister. I det avslutande stycket av boken skriver han:
=======
“As we have seen in our journey in this book, from the mathematician’s viewpoint, fractions and geometry are just the beginning of vast landscapes of awesome mathematical power and splendor. They are landscapes where mathematicians can spend their entire lifetimes exploring without ever coming across anything that could be considered to be real. Sometimes, though, the mathematical structures and mechanisms do parallel the real world. Such numbers and procedures may not actually be real, but they can still help answer our questions.
Despite its ability for abstraction, we need to keep our practical mathematics grounded in the physical so that the language of science can speak to us all. To come back to the question in the title of the book – numbers, I would suggest, are real at their most basic, but most of mathematics isn’t. It’s a fantasy world that sometimes mirrors and parallels our own, and as such can help provide us with tools to help us understand reality. But it needs to be kept in place. And as long as we (as scientists) remember this, we can’t go far wrong.”
=======