This page is a sub-page of our page on Calculus of Several Real Variables.
///////
The interactive simulations on this page can be navigated with the Free Viewer
of the Graphing Calculator.
///////
Related KMR-pages:
///////
Books:
• Ramgard, A., Vektoranalys – 2:a upplagan,
Teknisk Högskolelitteratur i Stockholm AB (THS AB), 1992.
/////// Citerar Ramgard (1992, sid 1):
1.1 Vektorvärda funktioner
En vektorvärd funktion \, \textbf{A} \, är en funktion vars bildområde \, B \, utgörs av vektorer. Låt oss anta att \, \textbf{A} :s definitionsområde \, D \, består av \, n -tupler \, (u, v, \cdots) \, av reella tal; i så fall associerar funktionen \, \textbf{A} \, entydigt en vektor \, \textbf{A} (u, v, \cdots) \, med varje till \, D \, hörande uppsättning värden på de oberoende variablerna \, u, v, \cdots \,
I allmänhet betraktar vi vektorer, vilka tillhör ett tredimensionellt vektorrum och således kan representeras med pilar i det “vanliga” tredimensionella rummet \, \mathbb{E}^3 . Vi använder ofta kartesiska koordinater \, x, y, z \, för att etikettera punkterna i \, \mathbb{E}^3 ; med ett kartesiskt koordinatsystem menar vi alltid ett rätvinkligt högersystem.
En godtycklig vektor \, \textbf{A} \, kan refereras till basvektorerna \, {\textbf{e}}_x, {\textbf{e}}_y, {\textbf{e}}_z \, i det kartesiska koordinatsystemet:
\textbf{A} \, = \, (A_x, A_y, A_z) \, \equiv \, A_x {\textbf{e}}_x + A_y {\textbf{e}}_y + A_z {\textbf{e}}_z. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (1.1)
En vektorvärd funktion är enligt (1.1) ekvivalent med tre reella funktioner:
\, A_x(u, v, \cdots), A_y(u, v, \cdots), A_z(u, v, \cdots) .
Definition: En vektorvärd funktion \textbf{A} (u, v, \cdots) \, sägs vara kontinuerlig i punkten \, (u, v, \cdots) \, om man till varje \, \epsilon > 0 \, kan hitta ett \, \delta(\epsilon) > 0 \, sådant att \, 0 < | \, \Delta u \, | < \delta \, , \, 0 < | \, \Delta v \, | < \delta \, , \, \cdots \, \implies
| \, \textbf{A}(u + \Delta u, v + \Delta v, \cdots) \, - \, \textbf{A} (u, v, \cdots) \, | \, < \, \epsilon .
\textbf{A}(u, v, \cdots) \, är kontinuerlig om och endast om komponentfunktionerna \, A_x(u, v, \cdots), \cdots \, är kontinuerliga funktioner.
Definition: En vektorvärd funktion \textbf{A} (t) \, har gränsvärdet \textbf{A} (t_0) \, då \, t \, går mot \, t_0 \, :
\lim\limits_{t \rightarrow t_0} \, \textbf{A} (t) \, = \, \textbf{A} (t_0) , om det för varje \, \epsilon > 0 \, finns ett \, \delta(\epsilon) > 0 \, sådant att
0 < | \, t - t_0 \, | < \delta \, \implies \, | \, \textbf{A} (t) - \, \textbf{A} (t_0) \, | \, < \epsilon .
/////// Slut på citatet från Ramgard (1992).
/////// Citerar Ramgard (1992, sid 7):
2.1 Derivering och integration av vektorvärda funktioner
Derivator av vektorvärda funktioner definieras på formellt samma sätt som
derivator av skalärvärda funktioner:
Definition: Låt \textbf{A} (u) \, vara en vektorvärd funktion,
och låt \, \Delta \textbf{A} \, \equiv \, \textbf{A}(u + \Delta u) - \textbf{A}(u) .
Om gränsvärdet \, \lim\limits_{t \rightarrow t_0} \, \frac{\Delta \textbf{A}}{\Delta u} \, , existerar, sägs \textbf{A} (u) \, ha derivatan \, \frac{d \textbf{A}}{du} \stackrel {\mathrm{def}}{=} \lim\limits_{\Delta u \rightarrow 0} \, \frac{\Delta \textbf{A}}{\Delta u} .
\, \frac{d \textbf{A}}{du} \, , som fås som gränsvärdet av kvoten mellan en vektor och en skalär, är tydligen också en vektorvärd funktion. Om \, \frac{d \textbf{A}}{du} \, deriveras erhålls andraderivatan \, \frac{d^2 \textbf{A}}{du^2} \, etc.
En geometrisk tolkning av derivatan får vi om vi avsätter alla vektorerna \, \textbf{A} (u) \, från en gemensam punkt \, O . Orten för vektorspetsarna blir då en kurva i rummet, den s.k. hodografen, och \, \frac{d \textbf{A}}{du} \, blir en tangentvektor till denna kurva.
Derivatans kartesiska komponenter erhålls genom derivering av
vektorns kartesiska komponenter:
Sats 2.1 \,\, \frac{d \textbf{A}}{du} = \frac{d}{du} (A_x, A_y, A_z) = ( \frac{d \textbf{A}_x}{du}, \frac{d \textbf{A}_y}{du}, \frac{d \textbf{A}_z}{du} ) .
Bevis: Komponentvis derivering (se sid 8). \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \boxdot
Om man vill kan man låta sats 2.1 vara definitionen av \, \frac{d \textbf{A}}{du} .
Sats 2.2 Låt \, \textbf{A} (u) \, och \, \textbf{B} (u) \, vara vektorvärda funktioner
och låt \, \Phi (u) \, vara en skalärvärd funktion.
Då gäller följande deriveringsregler:
\,\frac{d}{du}(\textbf{A} + \textbf{B}) = \frac{d \textbf{A}}{du} + \frac{d \textbf{B}}{du} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2.3)
\,\frac{d}{du}(\textbf{A} \cdot \textbf{B}) = \frac{d \textbf{A}}{du} \cdot \textbf{B} + \textbf{A} \cdot \frac{d \textbf{B}}{du} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \;\, (2.4)
\,\frac{d}{du}(\textbf{A} \times \textbf{B}) = \frac{d \textbf{A}}{du} \times \textbf{B} + \textbf{A} \times \frac{d \textbf{B}}{du} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \;\;\; (2.5)
\,\frac{d}{du}(\Phi \textbf{A}) = \frac{d \Phi}{du}\textbf{A} + \Phi \frac{d \textbf{A}}{du}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\; (2.6)
Bevis: [Bevisen för ovanstående deriveringsregler] är formellt identiska med bevisen för motsvarande deriveringsregler för reella funktioner, vilket beror på att man i bevisen endast utnyttjar räknelagar – additionens kommutativitet samt multiplikationens distributivitet m.a.p. addition – vilka gäller för såväl vektorer som skalärer \qquad \quad \boxdot .
Alternativt kan man bevisa (2.3 – 2.6) genom att använda sats 2.1 samt komponentframställningarna av \, \textbf{A} + \textbf{B} \, , \, \textbf{A} \cdot \textbf{B} \, , \, \cdots
[…]
Sats 2.3 Antag att \, \textbf{A} = \textbf{A}(u) \, och \, u = u(v) \, är deriverbara funktioner av \, u \,
respektive \, v . Då gäller
\, \frac{d}{dv} \textbf {A}(u(v)) \, = \, \frac{d \textbf{A}}{du} \frac{du}{dv}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\; (2.7)
Bevis: Använd sats 2.1 samt kedjeregeln för reella funktioner. \qquad \qquad \qquad \quad \; \boxdot
2.2 Partiell derivering av vektorvärda funktioner
Definition: Med den partiella derivatan av \, A(u, v, ...) \, med avseende på \, u \,
menas gränsvärdet (förutsatt att det existerar):
\, \frac{\partial \textbf{A}}{\partial u} \, = \, \lim\limits_{\Delta u \rightarrow 0} \, \frac{ \textbf{A}(u + \Delta u, v, \cdots) \, - \, \textbf{A}(u, v, \cdots) }{\Delta u} .
Sats 2.4 \,\, \frac{\partial \textbf{A}}{\partial u} = \frac{ \partial }{\partial u} (A_x, A_y, A_z) = ( \frac{\partial \textbf{A}_x}{\partial u}, \frac{\partial \textbf{A}_y}{\partial u}, \frac{\partial \textbf{A}_z}{\partial u} ) .
Sats 2.5 Om \, \textbf{A}(u, v, \cdots) \, och \, \textbf{B} (u, v, \cdots) \, är deriverbara, vektorvärda funktioner
och om \, \Phi (u, v, \cdots) \, är en deriverbar, skalärvärd funktion
så gäller följande partialderiveringsregler:
\,\frac{\partial}{\partial u}(\textbf{A} + \textbf{B}) = \frac{\partial \textbf{A}}{\partial u} + \frac{\partial \textbf{B}}{\partial u} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2.10)
\,\frac{\partial}{\partial u}(\textbf{A} \cdot \textbf{B}) = \frac{\partial \textbf{A}}{\partial u} \cdot \textbf{B} + \textbf{A} \cdot \frac{\partial \textbf{B}}{\partial u} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\, (2.11)
\,\frac{\partial}{\partial u}(\textbf{A} \times \textbf{B}) = \frac{\partial \textbf{A}}{\partial u} \times \textbf{B} + \textbf{A} \times \frac{\partial \textbf{B}}{\partial u} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;\, (2.12)
\,\frac{\partial}{\partial u}(\Phi \textbf{A}) = \frac{\partial \Phi}{\partial u}\textbf{A} + \Phi \frac{\partial \textbf{A}}{\partial u}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\, (2.13)
/////// Slut på citatet från Ramgard (1992).
/////// Citerar Ramgard (1992, sid 11):
2.3 Differentialer av vektorvärda funktioner
Låt \, \textbf{A}(u, v, \cdots) \, vara en vektorvärd funktion,
vars partiella derivator \, \partial \textbf{A} / \partial u , \, \partial \textbf{A} / \partial v , \, \cdots \, är kontinuerliga funktioner.
Vi inför ändringen av funktionsvärdet
\, \Delta \textbf{A} \equiv \textbf{A}(u + \Delta u, v + \Delta v, \, \cdots) \, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\; (2.17)
samt differentialen av \, \textbf{A} \,
\, d \textbf{A} \, \equiv \, \frac{\partial \textbf{A}}{\partial u} du \, + \, \frac{\partial \textbf{A}}{\partial v} dv \, + \, \cdots \, . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \; (2.18)
Sats 2.7 Ändringen \, \Delta \textbf{A} \, approximeras godtyckligt nära av differentialen \, d \textbf{A} \,
i den meningen att
\, \Delta \textbf{A} \, = \, d \textbf{A} + \textbf{h} du + \textbf{k} dv + \cdots \, . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \; (2.19)
där \, \textbf{h} \, och \, \textbf{k} \, är vektorer, vilkas belopp går mot noll då \, d u \, , \, d v \, , \, \cdots \, går mot noll.
[…]
Sats 2.8 Om \, \textbf{A} \, , \, \textbf{B} \, och \, \Phi \, är deriverbara funktioner så gäller differentieringsreglerna:
\, d (\textbf{A} + \textbf{B}) \, = \, d \textbf{A} + d \textbf{B} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (2.20)
\, d (\textbf{A} \cdot \textbf{B}) \, = \, d \textbf{A} \cdot \textbf{B} + \textbf{A} \cdot d \textbf{B} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\, (2.21)
\, d (\textbf{A} \times \textbf{B}) \, = \, d \textbf{A} \times \textbf{B} + \textbf{A} \times d \textbf{B} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;\, (2.22)
\, d (\Phi \textbf{A}) \, = \, d \Phi \textbf{A} + \Phi d \textbf{A}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\, (2.23)
[…]
2.4 Ortsvektordifferentialen
Ortsvektorn \, \textbf{r} \, från origo \, O \, till en punkt \, P \,
kan uppfattas som en funktion av \, P :s kartesiska koordinater \, x, y, z \, :
\, \textbf{r} \, = \, \textbf{r}(x, y, z) \, = \, x {\textbf{e}}_x + y {\textbf{e}}_y + z {\textbf{e}}_z \, = \, (x, y, z). \qquad \qquad \qquad \qquad \; (2.24)
Ortsvektordifferentialens kartesiska komponenter
erhålls som differentialerna av \, \textbf{r} :s kartesiska komponenter:
\, d \textbf{r} \, = \, (d x, d y, d z). \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, (2.25)
\, d \textbf{r} \, approximerar ändringen \, \Delta \textbf{r} \, av ortsvektorn
då man går från punkten \, P : x, y, z \,
till en närbelägen punkt \, P' : x + d x, y + d y, z + d z .
I detta speciella fall gäller likhet,
eftersom funktionen (2.24) är linjär i de oberoende variablerna.
/////// Slut på citatet från Ramgard (1992).
/////// Citerar Ramgard (1992, sid 19):
3.1 Gradienten och riktningsderivatan
Låt \, \Phi \, vara ett kontinuerligt deriverbart skalärfält, varmed här och i fortsättningen menas att de tre partiella förstaderivatorna är kontinuerliga funktioner.
I punkten \, \textbf{r}(x, y, z) \, antar fältet värdet \, \Phi(x, y, z) \, och i den närbelägna punkten \, \textbf{r} + d \textbf{r} = (x + d x, y + d y, z + d z) \, antar fältet värdet \, \Phi(x, y, z) + \Delta \Phi ,
där
\, \Delta \Phi \, \approx \, d \Phi \, = \, \frac{\partial \Phi}{\partial x} d x + \frac{\partial \Phi}{\partial y} d y + \frac{\partial \Phi}{\partial z} d z. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\; (3.1)
De partiella derivatorna i (3.1) är beräknade i punkten \, \textbf{r} .
Vi introducerar nu ett kontinuerligt vektorfält \, \text{grad} \, \Phi ,
som konsist beskriver \, \Phi :s variation i den omedelbara omgivningen till varje punkt:
Definition: Gradienten av skalärfältet \, \Phi \, är vektorfältet
\, \text{grad} \, \Phi \, \equiv \, (\frac{\partial \Phi}{\partial x}, \frac{\partial \Phi}{\partial y}, \frac{\partial \Phi}{\partial z}). \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (3.2)
Differentialen av \, \Phi \, i (3.1) kan tydligen skrivas som skalärprodukten av \, \text{grad} \, \Phi och ortsvektordifferentialen:
\, d \Phi = \text{grad} \, \Phi \cdot d \textbf{r}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\; (3.3)
Denna definition kan f.ö. användas som en koordinatfri definition av gradienten –
vi refererar ej i (3.3) till något särskilt koordinatsystem i rummet.
Vi inför nu ortsvektordifferentialens belopp \, d s \, och riktning \, \textbf{e} \,
( \, \textbf{e} \, är en enhetsvektor):
\, d \textbf{r} = \textbf{e} \, d s \, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\; (3.4)
i ekv. (3.3), vilken vi därefter dividerar med \, d s . På så sätt erhålls
riktningsderivatan i riktningen \, \textbf{e} \, från punkten \, \textbf{r} \, :
\, \frac{d \Phi}{d s} = \text{grad} \, \Phi \cdot \textbf{e}. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad (3.5)
Graden av ökning hos \, \Phi \, i en given riktning är således lika med
gradientvektorns komponent i den riktningen.
Om vi vill kan vi definiera riktningsderivatan som
\, \frac{d \Phi}{d s} = \lim\limits_{s \, \rightarrow \, 0} \frac{ \Phi ( \textbf{r} + s \textbf{e} ) - \Phi ( \textbf{r} ) }{ s }. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\; (3.6)
Sats 3.1 Värdet av \, \text{grad} \, \Phi \, i punkten \, P \, , vektorn \, {(\text{grad} \, \Phi)}_P \, ,
pekar i den riktning i vilken \, \Phi \, växer snabbast då man utgår från \, P .
Vidare är den maximala ökningen av \, \Phi \, per längdenhet lika med \, | {(\text{grad} \, \Phi)}_P | .
Bevis: Riktningsderivatan i riktningen \, \textbf{e} \, :
\, \frac{d \Phi}{d s} = \text{grad} \, \Phi \cdot \textbf{e} = | {(\text{grad} \Phi)}_P | \, \cos \alpha ,
har maximum lika med \, | {(\text{grad} \, \Phi)}_P | \, då \, \alpha = 0 , dvs. då \, \textbf{e} \, \shortparallel \, \text{grad} \, \Phi . \qquad \quad \;\; \boxdot
Sats 3.2 Om \, \Phi \, har maximum eller minimum i en punkt så är \, \text{grad} \, \Phi = 0 \, i punkten.
Sats 3.3 \, \text{grad} \, \Phi \, i punkten \, P \, är ortogonal mot nivåytan \, \Phi = c \, genom punkten \, P .
Bevis: Vid en liten förflyttning \, d \textbf{r} \, längs nivåytan ändras ej skalärfältets värde:
\, d \Phi = \text{grad} \, \Phi \cdot d \textbf{r} = 0 ,
dvs \, \text{grad} \, \Phi \, är ortogonal mot varje \, d \textbf{r} \, i nivåytan,
vilket innebär att \, \text{grad} \, \Phi \, är ortogonal mot nivåytan. \, \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\, \boxdot
Sats 3.4 Det vinkelräta avståndet vid punkten \, P \,
mellan de närbelägna nivåytorna \, \Phi = c \, och \, \Phi = c + h \,
är approximativt:
\, \Delta s \approx \frac{ h }{ | {(\text{grad} \, \Phi)}_P | } \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \; (3.7)
Bevis: Vi låter \, d \textbf{r} \, i (3.3) vara ortogonal mot \, \Phi = c \, dvs. parallell med \, {(\text{grad} \, \Phi)}_P .
Vi sätter vidare \, d\Phi \approx \Delta \Phi = h \, samt \, | d \textbf{r} | \approx \Delta s . \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \boxdot
Tätheten av ytor i nivåytefamiljen \, \Phi = c + n h \, , \, n \in \mathbb{Z} \,
är således direkt proportionell mot gradientvektorns belopp.
/////// Slut på citatet från Ramgard (1992).
From the KMR page on Gradients:
Flying carpets and level surfaces
The “flying carpet” style equation for the graph of the function f can be expressed as:
z = f(x, y) .
The level surface style equation for the graph of the function f can be expressed as:
\mathrm g(x,y,z) \, \stackrel {\mathrm{def}}{=} f(x,y)-z = 0 \, .
In the animation below, the “input” function f is given by:
f(x, y) = \frac{1}{4} (x^2 + 4 y^2) .
IMPORTANT: The 3D-gradient of the level surfaces \, g(x, y, z) = c_{onstant} \,
projects (along the \, z -direction) onto the 2D-gradient of the level curves \, f(x, y) = c_{onstant} \, :
The interactive simulation that created this movie (Explained in English).
The interactive simulation that created this movie (Explained in Swedish).
///////
Level Surface 1 – Gradient:
\, g(x, y, z) = \frac{1}{3} (x^2 + 4 y^2 + 9 z^2) \, :
The interactive simulation that created this movie (Explained in English).
The interactive simulation that created this movie (Explained in Swedish).
///////
Level Surface 2 – Gradient:
\, g(x, y, z) = \dfrac{x^2}{A} + \dfrac{y^2}{B} + \dfrac{z^2}{C} \; , \; C < B < A \, :
The interactive simulation that created this movie (Explained in English).
The interactive simulation that created this movie (Explained in Swedish).
/////// Citerar Ramgard (1992, sid 22):
3.2 Potentialen
Definition: Om det för ett givet vektorfält \, \textbf{A} \, existerar ett skalärfält \, \Phi \, sådant att
\, A = \text{grad} \, \Phi \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\; (3.8)
sägs \, \textbf{A} \, ha (den skalära) potentialen \, \Phi .
Potentialen för \, \textbf{A} \, är bestämd på en konstant när. Om nämligen
\, A = \text{grad} \, {\Phi}_1 = \text{grad} \, {\Phi}_2 \,gäller \, \text{grad} \, ( {\Phi}_1 - {\Phi}_2 ) = 0 , vilket medför att \, {\Phi}_1 - {\Phi}_2 = c , dvs. \, {\Phi}_1 = {\Phi}_2 + c .
Sats 3.5 Om det kontinuerligt deriverbara vektorfältet \, \textbf{A} \, har en potential så gäller
\, \frac{\partial A_y}{\partial x} = \frac{\partial A_x}{\partial y} \, , \quad \small \text {cykl.} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;\; (3.9)
Bevis:
\, \frac{\partial A_y}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial \Phi}{\partial x} = \frac{\partial A_x}{\partial y} \, , \quad \small \text {cykl.} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \boxdot .
Vi skall senare se (i kap 7) att man omvänt ur (3.9) samt vissa förutsättningar kan sluta sig till att vektorfältet \, \textbf{A} \, har en potential.
Ofta definieras en potential \, U(\textbf{r}) \, för \, \textbf{A} ur ekvationen:
\, \textbf{A} = - \text{grad} \, U. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad (3.10)
Sambandet mellan \, \Phi \, och \, U \, är:
\, U(\textbf{r}) = - \Phi(\textbf{r}) + c. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \, (3.11)
/////// Slut på citatet från Ramgard (1992).
///////
IN SWEDISH:
////////////////////////////////////////////////
/////// Citerar Folke Eriksson, Flerdimensionell analys (sid. 98)
Vi har hittills alltid tänkt oss ett enda fixt koordinatsystem i Rn \mathbb{R}^n Rn, t.ex xy xyxy-systemet i R2 \mathbb{R}^2 R2. I detta system har vi definierat ∇f=(fx′,fy′) \nabla f = (f’_x, f’_y) ∇f=(fx′,fy′). Gradienten kan emellertid uttryckas även i andra koordinatsystem, allmännare än rätvinkliga. Om t.ex (r,θ) (r, \theta) (r,θ) är polära koordinater, kan de partiella derivatorna av funktionen (r,θ)→f(rcosθ,rsinθ)=z (r, \theta) \rightarrow f(r \cos \theta, r \sin \theta) = z (r,θ)→f(rcosθ,rsinθ)=z, alltså ∂z∂r \frac {\partial z} {\partial r} ∂r∂z och ∂z∂θ \frac {\partial z} {\partial \theta} ∂θ∂z, uppfattas som koordinater för ∇f \nabla f ∇f i rθ r \thetarθ-systemet. Själva vektorn ∇f \nabla f ∇f är då en och densamma, men den har olika koordinater i olika system.
Enligt 3.6 och 3.5 skulle man också, utan att direkt använda något koordinatsystem, kunna definiera gradienten geometriskt, med hjälp av nivåkurvornas (respektive nivåytornas) normaler, eller den riktning längs vilken funktionsvärdet växer snabbast (jämte ett mått på den snabbaste tillväxten). Gradienten ger således ett mer allmängiltigt uttryck för funktionsvärdets förändringar i närheten av en punkt a \mathbf {a} a än de partiella derivatorna, vilka ju bara hänför sig till ett speciellt koordinatsystem. Gradienten däremot är en sammanfattning av de partiella derivatornas värden i alla lämpliga koordinatsystem.
Vi kan lägga märke till en viktig skillnad mellan en gradientvektor ∇f \nabla f ∇f och en riktad sträcka v \mathbf {v} v. Medan ∣v∣ | \mathbf {v} | ∣v∣ (avståndet AB AB AB) naturligtvis har dimensionen längd, har ∣∇f∣ | \nabla f | ∣∇f∣ (om värdena av funktionen f f f är dimensionslösa tal) dimensionen (la¨ngd)−1 (\text {längd})^{-1} (la¨ngd)−1. Gradientens belopp anger alltså, som vi sett i avsnitt 3.5, värdeändring per längdenhet.
Med detta sammanhänger att ∇f \nabla f∇f vid koordinattransformation uppför sig helt annorlunda än riktade sträckor. Om man t.ex. från ett ortonormerat system med basvektorerna ei { \mathbf {e}}_i ei övergår till ett system med basvektorerna 2ei 2 {\mathbf{e}}_i 2ei, gäller där för en riktad sträcka
v=∑viei=∑12vi(2ei)=∑vi′ (2ei) \mathbf {v} = \sum v_i {\mathbf {e}}_i = \sum \frac {1}{2} v_i (2 {\mathbf{e}}_i) = \sum v’_i \, (2 {\mathbf{e}}_i) v=∑viei=∑21vi(2ei)=∑vi′(2ei),
där alltså vi′=12vi v’_i = \frac{1}{2} v_i vi′=21vi. Gradientens koordinater i det nya koordinatsystemet är däremot enligt kedjeregeln:
∂f∂xi′=∑∂f∂xk∂xk∂xi′=∂f∂xi∂xi∂xi′=2∂f∂xi \dfrac{\partial f}{\partial x’_i} = \sum \dfrac{\partial f}{\partial x_k} \dfrac {\partial x_k}{\partial x’_i} = \dfrac {\partial f}{\partial x_i} \dfrac {\partial x_i}{\partial x’_i} = 2 \dfrac {\partial f}{\partial x_i} ∂xi′∂f=∑∂xk∂f∂xi′∂xk=∂xi∂f∂xi′∂xi=2∂xi∂f
ty xi=2xi′ x_i = 2 x’_i xi=2xi′.
Det är därför mindre lämpligt att skriva t.ex ∇f=∑∂f∂xiei \nabla f = \sum \frac {\partial f}{\partial x_i} {\mathbf{e}}_i ∇f=∑∂xi∂fei.
Däremot går det utmärkt att som i 3.5 införa skalärprodukten v⋅∇f \mathbf{v} \cdot \nabla f v⋅∇f. Det är t.om. så att formeln v⋅∇f=∑vi∂f∂xi \mathbf{v} \cdot \nabla f = \sum v_i \frac {\partial f}{\partial x_i} v⋅∇f=∑vi∂xi∂f för en sådan skalärprodukt gäller i varje koordinatsystem medan formeln v⋅u=∑viui \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = \sum v_i u_i v⋅u=∑viui för två riktade sträckor bara gäller i ortonormerade system.
I vårt exempel nyss är vi∂f∂xi=∑vi′∂f∂xi′ v_i \frac {\partial f}{\partial x_i} = \sum v’_i \frac {\partial f}{\partial x’_i} vi∂xi∂f=∑vi′∂xi′∂f, men ∑vi2=4∑vi′2 \sum {v_i}^2 = 4 \sum {v’_i}^2 ∑vi2=4∑vi′2.
Det är lämpligt att skriva ∇f \nabla f ∇f som en matris G G G med en rad, och en riktad sträcka v \mathbf {v} v som en matris V V V med en kolonn. Då blir skalärprodukten ∇f⋅v \nabla f \cdot \mathbf{v} ∇f⋅v lika med matrisprodukten GV GV GV.
I fysikaliska (med flera) tillämpningar förekommer många storheter, som vid koordinattransformationer i rummet uppför sig som vektorer av det ena eller andra slaget, men som därjämte har annan fysikalisk dimension. Somliga, som t.ex hastighet (med dimensionen längd/tid), transformeras på samma sätt som riktade sträckor och kallas kontravarianta vektorer. Andra, t.ex kraft (kraften är ofta lika med gradienten av en funktion V(x) V(\mathbf{x}) V(x)), transformeras som gradienter och kallas kovarianta vektorer. Så länge som man bara använder ortonormerade koordinatsystem, kan man räkna på samma sätt med båda slagen av vektorer. Men i allmännare koordinatsystem är skillnaden väsentlig.
I allmänna koordinatsystem är det inte så lätt att direkt definiera koordinater för riktade sträckor på ett lämpligt sätt. Man behöver nämligen räkna med olika basvektorer i olika punkter. För t.ex polära koordinater med basvektorerna er {\mathbf{e}}_r er och eθ {\mathbf{e}}_{\theta} eθ behöver man räkna med de riktningar som linjerna θ=θ0 \theta = {\theta}_0 θ=θ0 respektive cirklarna r=r0 r = r_0 r=r0 har i olika punkter. Basvektorerna kan då vara olika i olika punkter av en sträcka AB AB AB.
Man kan i stället i det allmänna fallet utgå från kedjeregeln, vilken ger transformationsformlerna för koordinaterna av en gradient (jfr (4), sid 84). En kovariant vektor är definitionsmässigt en n nn-tipel av tal uk(S),k=1,2,…,n) u_k (S), k = 1, 2, \dots, n) uk(S),k=1,2,…,n), som varierar med koordinatsystemet S S S enligt de nämnda transformationsformlerna.
Analogt definierar man en kontravariant vektor v \mathbf{v} v som en n nn-tipel av tal vk(S) v_k (S) vk(S), som beror på koordinatsystemet S S S på ett annat specifikt sätt. Detta kan karaktäriseras just av att “skalärprodukten” ∑uk(S) vk(S) \sum u_k (S) \, v_k (S) ∑uk(S)vk(S) av en kovariant vektor u \mathbf{u} u och en kontravariant vektor v \mathbf{v} v är oberoende av koordinatsystemet S S S.
Det finns även allmännare s.k. geometriska objekt (t.ex. pseudovektorer och tensorer), vilka varierar med koordinatsystemet på andra sätt.
/////// End of quote from Eriksson, Flerdimensionell analys.
///////
A planar electromagnetic wave:
The interactive simulation that created this movie.
The electric part of the wave: \, E(\mathbf{\hat{k}}, \mathbf{x}, \omega, t) \, = \, e^{ \, i \,(\mathbf{\hat{k}} \cdot \mathbf{x} \, - \, \omega \, t)} \,
The magnetic part of the wave: \, B(\mathbf{\hat{k}}, \mathbf{x}, \omega, t) \, = \, e^{ \, i \, (\mathbf{\hat{k}} \cdot \mathbf{x} \, - \, (\omega \, + \, \pi/2) \, t)} \,
The entire wave: \, E_m(\mathbf{\hat{k}}, \mathbf{x}, \omega, t) \, = \, E(\mathbf{\hat{k}}, \mathbf{x}, \omega, t) \, + \, B(\mathbf{\hat{k}}, \mathbf{x}, \omega, t) \,
Its Poynting vector : \, S \, = \, \frac{1}{{\mu}_0} \, E \, \times \, B
///////
• Maxwell and Dirac theories as an already unified theory
Conceptual background:
Historical background:
• The Evolution Of Geometric Arithmetic
///////
Divergence and curl: The language of Maxwell’s equations, fluid flow, and more
Steven Strogatz on YouTube
///////