This is a sub-page of our page on Calculus of One Real Variable.

///////

The sub-pages of this page are:

• Big-Ordo and Little-ordo notation

///////

Related KMR pages:

• …

///////

Other relevant sources of information:

• The concept of limit in mathematics
• Indeterminate expression
• Indeterminate: the hidden power of 0 divided by 0

///////

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; “STANDARD” LIMITS:

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; n \in \mathbb{N} \, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, x \in \mathbb{R} \,

\, \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{a^n}{n^{\alpha}} = \infty \;\; \text{if} \;\; a > 1 . \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{a^x}{x^{\alpha}} = \infty \;\; \text{if} \;\; a > 1 .

\, \lim\limits_{\, n \rightarrow \infty} a^n n^{\alpha} = 0 \;\; \text{if} \;\; | \, a \, | < 1 . \;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \rightarrow \infty} a^x x^{\alpha} = 0 \;\; \text{if} \;\; 0 ≤ a < 1 .

\, \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{\ln n}{n^{\alpha}} = 0 \;\; \text{if} \;\; \alpha > 0 . \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \dfrac{ \ln x}{x^{\alpha}} = 0 \;\; \text{if} \;\; \alpha > 0 .

\, \lim\limits_{n \rightarrow \infty} n^{\frac{1}{n}} = 1 . \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \lim\limits_{x \rightarrow \infty} x^{\frac{1}{x}} = 1 .

\, \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \;\; \text{if} \;\; a > 0 . \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \rightarrow \infty} a^{\frac{1}{x}} = 1 \;\; \text{if} \;\; a > 0 .

\, \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{a^n}{n!} = 0 .

\, \lim\limits_{n \rightarrow \infty} { \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) }^n = e . \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \lim\limits_{x \rightarrow \infty} { \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) }^x = e .

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 .

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1 .

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\arcsin x}{x} = 1 .

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\, \lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\arctan x}{x} = 1 .