This page is a sub-page (in Swedish) of our page on Music.

///////

Relaterade informationskällor:

• Musikteorins grunder
• Bengt Ulin (2003), Matematik i musiken, Nämnaren Nr2/2003.
• Bengt Ulin (1982), Att finna ett spår: Motiv och metoder i matematikundervisningen –
Erfarenheter ur waldorfpedagogiken, Robygge Bokhandel, ISBN 91-7260-657-6.
• Stephen Malinowski på YouTube

Andra matematikböcker av Bengt Ulin:

• Bengt Ulin (1996), Engagerande matematik – genom spänning, fantasi och skönhet, Ekelunds Förlag, ISBN 91-7724-8.
• Bengt Ulin (1998), Klassisk geometri – motiv och mening, Ekelunds Förlag.
• Bengt Ulin (2000), Projektiv geometri – en åskådlig introduktion, Ekelunds Förlag,
ISBN 91-646-1331-3.
• Bengt Ulin (2002), Problemlösning i symbios med matematikhistoria, Ekelunds Förlag.
• Bengt Ulin (2003), Matematik och musik, Ekelunds Förlag.
• Bengt Ulin (2007), Matematisk design i naturen, Ekelunds Förlag.
• Bengt Ulin (2008), Fibonacci-talen och gyllene snittet, Ekelunds Förlag.
• Bengt Ulin (2010), Matematiska äventyr, Ekelunds Förlag.

///////

Omslagstext till boken “Att finna ett spår”:

Matematik är ett ämne som har speciella möjligheter att erbjuda oss alla ett övningsfält, där vi kan utveckla tankekrafterna och förvärva ett växande förtroende till tänkandet. Men matematik upplevs ofta som ett svårt eller abstrakt ämne och i skolan är fruktan för matematiklektionerna en inte så ovanlig företeelse. Skolmatematiken ställer rätt stora krav på lärare och pedagogik.

“Att finna ett spår” vill ge perspektiv på elementär matematik och undervisning. Boken ger en rad exempel på hur läraren kan finna en engagerande pedagogisk uppslagsända, så att ungdomarna får möjlighet att upptäcka ett tankespår. Att försöka göra upptäckter under arbetet med ett matematiskt material ger – vid sidan av den logiska skolningen – plats åt kreativitet i ämnet.

Framställningen kan också vara en “läsebok” för den som mer allmänt intresserar sig för matematik, musik, naturformer mm. De orienterande avsnitten innehåller åtskilliga figurer och erbjuder övningsexempel (med svar och anvisningar) för den intresserade.

Bengt Ulin blev licenciat i matematik vid Uppsala Universitet. Han har undervisat som biträdande lärare där och haft en assistenttjänst vid Tekniska Högskolan i Stockholm. Sedan 1956 är han verksam vid Kristofferskolan i Bromma, sedan 1969 även vid Rudolf Steiner Seminariet i Järna.

///////

/////// Citerar Ulin (1982, s. 81-83)

3.4.1 PIANOKLAVIATUREN

Figur 3.4.1. återger klaviaturen hos ett piano, som ofta omfattar \, 7 \, oktaver och därtill \, 2 \, vita tangenter och \, 1 \, svart längst längst till vänster.

/// Klipp in Fig. 3.4.1. här.

Varje oktav har \, 7 \, vita och \, 5 \, svarta tangenter, som tillsammans ger \, 12 \, toner. Den s.k. ostrukna oktaven, “straxt till vänster om pianots nyckelhål”, går från ostrukna \, c \; (c) \, fram till ettstrukna \, c \; (c^1) \, . Om vi räknar de vita tangenterna med \, c \, som första tangent, når vi \, c^1 \, i och med den åttonde tangenten. (Därav namnet oktav.) \, c^1 \, är den första tonen i närmast högre oktav än den ostrukna, den 1-strukna oktaven. Pianostämmaren spänner strängarna för \, a^1 \, (1-strukna \, a \, ), så att de vibrerar med \, 440 \, svängningar per sekund. Tonen har då, som man säger, frekvensen \, 440 \, Hertz (Hz).

Om vi går från \, a^1 \, till \, a^2 \, (tvåstrukna \, a \, ) i nästa oktav – vi tar alltså från \, a^1 \, ett oktavsteg uppåt – får vi en ton, som om den ljuder samtidigt som \, a^1 \, , fullständigt klingar samman med \, a^1 \, . Spelar vi ton för ton på de vita tangenterna från \, a^1 \, upp till \, a^2 \, , är det för vår tonupplevelse som att komma tillbaka till utgångspunkten, men vi gör detta liksom på ett högre plan. Vi har tagit ett steg uppåt i tonhöjd som känns helt naturligt.

Tonörat är mycket känsligt för att \, a^2 \, är rent stämd i relation till \, a^1 \, . När stämningen är ren har \, a^2 \, exakt dubbelt så stor frekvens som \, a^1 \, , dvs \, 2 \cdot 440 = 880 \, Hz.

På detta sätt ökar frekvensen oktavteg för oktavsteg och vi har (i Hertz)

\, a^1 = 440 \,
\, a^2 = 2 \cdot 440 = 880 \,
\, a^3 = 4 \cdot 440 = 1760 \,
\, a^4 = 8 \cdot 440 = 3520 \,

Om vi i stället tar oktavsteg nedåt (dvs. åt vänster på klaviaturen till allt lägre toner)
erhåller vi (med beteckningar som är vanliga):

\, a = \frac {1}{2} \cdot 440 = 220 \,
\, A = \frac {1}{4} \cdot 440 = 110 \,
\, A_1 = \frac {1}{8} \cdot 440 = 55 \,
\, A_2 = \frac {1}{16} \cdot 440 = 27,5 \,

\,a -tonerna har alltså följande frekvenser:

\, A_2 = \frac {1}{16} \cdot 440 \,
\, A_1 = \frac {1}{8} \cdot 440 \,
\, A = \frac {1}{4} \cdot 440 \,
\, a = \frac {1}{2} \cdot 440 \,
\, a^1 = 1 \cdot 440 \,
\, a^2 = 2 \cdot 440 \,
\, a^3 = 4 \cdot 440 \,
\, a^4 = 8 \cdot 440 \,

Om vi börjar med \, c \, i stället för med \, a \, blir följden av frekvenser likartad, men \, 440 \, ersätts med ett annat frekvenstal, säg \ f \, :

\, C_1 = \frac {1}{8} \cdot f \,
\, C = \frac {1}{4} \cdot f \,
\, c = \frac {1}{2} \cdot f \,
\, c^1 = 1 \cdot f \,
\, c^2 = 2 \cdot f \,
\, c^3 = 4 \cdot f \,
\, c^4 = 8 \cdot f \,
\, c^5 = 16 \cdot f \, (högsta tonen på vårt piano).

Koefficienterna \, 1, 2, 4, \cdots \, uppträder alltid när vi tar oktavsteg uppåt, koefficienterna \, \frac {1}{2}, \frac {1}{4}, \frac {1}{8}, \cdots \, när vi gör oktavsteg nedåt. (I båda fallen svarar \, 1 \, mot utgångsfrekvensen.)

/////// Slut på citatet från Ulin (1982)

/////// Citerar Ulin (1982, s. 88-90):

3.4.3 PIANOSTÄMMARENS SVÅRA UPPGIFT

Vi vet att tonörat är mycket känsligt för oktaver. Pianostämmaren måste därför omsorgsfullt stämma rena oktavsteg, vilket fysikaliskt innebär att frekvensen från en ton till den en oktav högre tonen exakt fördubblas.

En violinist stämmer emellertid de fyra strängarna i kvinter. Kvintintervallet svarar mot \, 7 \, s.k. halva tonsteg (exempel i figur 3.4.8). Räknat från \, c^1 \, ger \, g^1 , den femte vita tangenten åt höger, kvinten uppåt (kvint = \, 5 ).

Fiolsträngarna stäms så att tonerna \, g, d^1, a^1 \, och \, e^2 \, bildar rena kvintsteg uppåt. Ett rent kvintsteg är näst efter oktavsteget det intervall som tonörat säkrast uppfattar. I fråga om frekvenser innebär ett rent kvintsteg uppåt att frekvensen multipliceras med

\, \dfrac {3}{2} = 1,5 \, .

Om vi ser på pianoklaviaturen, kan vi fråga oss:

hur många kvinter omspänner de \, 7 \, oktaverna från \, A_2 \, till \, a_4 \, , eller – vilket kommer på ett ut – från \, C_1 \, till \, c^5 \, ? Vi kan räkna \, 7 \, halvtonsteg i sänder (= en kvint) och finner enligt figur 3.4.9 att \, 7 \, oktaver motsvarar \, 12 \, kvinter.

///// Figur 3.4.9.

På pianot är \, 12 \, kvintsteg (à \, 7 \, halvtonsteg) lika med \, 7 \, oktavsteg (à \, 12 \, halvtonsteg).

Om utgångspunkten är \, A_2 \, har vi frekvensen \, 27,5 \, Hz. Efter \, 7 \, oktavsteg, dvs. efter \, 7 \, fördubblingar av frekvensen, kommer vi till \, a^4 = 128 \cdot 27,5 \, Hz.

Låt oss i stället ta \, 12 \, rena kvintsteg från \, A_2 \, . Då erhåller vi (efter \, 12 \, multiplikationer med faktorn \, 1,5 \, ) för sluttonen \, a^4 \, frekvensen

\, \underbrace {1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,5 \cdot \cdots \cdot 1,5}_{\text{12 faktorer}} \cdot 27,5 \, Hz eller ungefär \, 129,75 \cdot 27,5 \, Hz.

Men \, 129,75 \cdot 27,5 \, måste ju vara ett högre tal än \, 128 \cdot 27,5 \, !
De tolv rena kvinterna ger

\, a^4 = 129,75 \cdot 27,5 \approx 3568,1 \, Hz;

de sju rena oktaverna ger

\, a^4 = 128 \cdot 27,5 = 3520 \, Hz.

Hur ska detta gå ihop? – Inte på något annat sätt än att pianostämmaren bland annat gör alla kvinter något för låga. Hans svåra uppgift är i själva verket att stämma kvinterna m.fl. intervall lagom orena. Just när graden av orenhet är lagom, klingar pianot bra!

Vi har nyss sett att potensen \, 1,5^{12} \, ger värdet ca \, 129,75 \, i stället för \, 128 . Hur stort ska då kvintsteget vara i stället för \, 1,5 ? Om vi sätter det sökta, något för låga, kvintsteget = \, x, \, får vi ekvationen

\, x^{12} = 128 ,

dvs. \, x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = 128 .

Lösningen till denna ekvation ger det lagom sänkta kvintsteget \, x \approx 1,498 . Denna kvint kallas för den tempererade kvinten.

Kvinten uppåt från \, a^1 \, ger \, e^2 . Om denna kvint är ren blir frekvensen för \, e^2 \, : \, 1,5 \cdot 440 = 660 \, (Hz).

Det är emellertid inte bara kvinterna som skall göras tempererade utan även andra intervall. I sista hand blir det halvtonstegen som alla måste vara lika stora och anpassade så att \, 12 \, lika stora halvtonsteg ger oktaven. Pianot är då tempererat stämt, har “liksvävande temperatur“. Det vältempererade pianots stämning infördes på Bachs tid.

Tack vare tempereringen blev det möjligt att relativt fritt gå över från en tonart till en annan. Med tiden tillkom en ny musikform vid sidan av de äldre formerna (klassisk romantisk musik och annan): tolvtonsmusiken. Före tempereringen omgav sig varje tonart så att säga med väggar och modulering mellan olika tonarter vållade problem. Som en hyllning till den tempererade stämningen skrev Bach den välkända samling av preludier och fugor, som bär namnet “Das wohltemperierte Klavier“. Många av oss känner nog till det relativt lättspelade C-durpreludium som inleder samlingen.

/////// Slut på citatet från Ulin (1982)

Bach, Prelude in C major, WTC I, BWV 846 (dyad spiral) (musanim at YouTube):

///////